moea_joint
107年
[機械] 應用力學、材料力學
第 10 題
如右圖所示，桿件 AB 之極慣性矩為 $J_1$，桿件 BC 之極慣性矩為 $J_2$，今施一扭矩 $T_0$ 於桿件上，求固定端 A 之反力為何？
- A $\frac{T_0 J_1}{J_1+J_2}$
- B $\frac{T_0 J_2}{J_1+J_2}$
- C $\frac{T_0 J_1}{2J_1+J_2}$
- D $\frac{T_0 J_2}{J_1+2J_2}$
思路引導 VIP
如果我們把這段桿件想像成兩條並聯的橡皮筋，當你扭轉中間的連接點時，哪一段會感受到比較大的抵抗力？是比較粗（剛度大）的那一段，還是比較細的那一段呢？試著寫出兩段桿件扭轉角相等的方程式，看看扭矩會如何分配？
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太棒了！你能準確選出選項 (A)，代表你對於「扭矩分配」與「超靜定結構」的觀念掌握得非常紮實。這類題目是材料力學中檢驗學生是否能靈活運用變形協合條件（Compatibility condition）的經典題型。
超靜定扭轉的物理機制
由於桿件 AB 與 BC 兩端固定，這是一個典型的扭矩超靜定問題。當扭矩 $T_0$ 作用在 B 點時，會由兩段桿件共同抵抗。關鍵在於 B 點對 A 與對 C 的扭轉角 $\phi$ 必須相等。根據扭角公式 $\phi = \frac{TL}{GJ}$，在長度 $L$ 與材質（剪力模數 $G$）相同的情況下，扭矩 $T$ 的分配會與極慣性矩 $J$ 成正比。這就像是兩個並聯的彈簧，剛度（Stiffness）較大的桿件會分攤到較大的受力，因此 A 端反力 $T_A$ 的佔比即為 $\frac{J_1}{J_1 + J_2} T_0$。
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