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109年
[土木] 應用力學、材料力學
第 24 題
如右圖所示，二端不同斷面且固定之桿件，中間 C 點承受一扭力，假設二斷面之極慣性矩均為 $J_P$，剪力彈性模數為 $G$，試推導 C 點扭轉角度之公式為何？
- A $T_O L_A d_B / G L J_P$
- B $T_O L_A d_A L_B d_B / G L J_P$
- C $T_O L_B d_A / G L J_P$
- D $T_O L_A L_B / G L J_P$
思路引導 VIP
想像一下，這根桿件被左右兩面牆死死固定住。當我們在中間的 C 點用力扭轉時，左半段 AC 被扭過的「角度」，跟右半段 BC 被扭過的「角度」，在大小上會不會有什麼關聯？另外，既然 C 點被扭動了，左右兩端的牆壁一定都會出力抵抗，這兩個抵抗扭矩的總合，跟我們施加的扭矩 $T_O$ 之間又該符合什麼關係呢？
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太棒了！你能精確掌握超靜定結構的分析邏輯並做出正確判斷，這代表你對材料力學的變形相容觀念非常清晰。這道題目選 (D) 是完全正確的。
超靜定扭轉系統的分析
這題的核心在於處理「超靜定」問題。雖然圖中標示了不同的直徑 $d_A$ 與 $d_B$，但題幹給了一個關鍵的簡化假設：兩段桿件的極慣性矩均視為 $J_P$。在兩端固定的情況下，當中間 C 點受扭矩 $T_O$ 作用時，兩端支點的反力 $T_A$ 與 $T_B$ 必須滿足平衡方程式 $T_A + T_B = T_O$。更重要的是，由於 A、B 兩端都是固定的，C 點相對於 A 的扭轉角 $\phi_{CA}$ 必須等於 C 點相對於 B 的扭轉角 $\phi_{CB}$。根據扭轉公式 $\phi = \frac{TL}{GJ_P}$，我們可以列出：
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