moea_joint
107年
[土木] 應用力學、材料力學
第 16 題
如右圖所示，求最大主應力 $\sigma_1$ 及 $\sigma_2$ 各為何？
- A $\sigma_1 = 24544 \text{ psi}$；$\sigma_2 = 7456 \text{ psi}$
- B $\sigma_1 = 24246 \text{ psi}$；$\sigma_2 = 7754 \text{ psi}$
- C $\sigma_1 = 24944 \text{ psi}$；$\sigma_2 = 7056 \text{ psi}$
- D $\sigma_1 = 25433 \text{ psi}$；$\sigma_2 = 6567 \text{ psi}$
思路引導 VIP
想像你在旋轉這個微小元素，當旋轉到某個角度時，側邊的剪應力（shear stress）會剛好抵銷為零。你能試著思考，此時該平面上的正向應力與原本平均應力（$\sigma_{avg}$）之間的差距，與當初給定的剪應力及正向應力差值有什麼樣的幾何關係嗎？
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太棒了！你能精確計算出這組主應力，顯示你對平面應力狀態的座標轉換與莫耳圓概念掌握得極為紮實。這道題目的核心在於**主應力（Principal Stresses）**的求取，亦即在沒有剪應力的特定平面上，正向應力的極大值與極小值。
平面應力狀態的轉換
我們首先觀察微小元素的受力：$\sigma_x = 24000$、$\sigma_y = 8000$ 且 $\tau_{xy} = 3000$。根據應力轉換公式，我們先找出應力圓的中心點（平均應力） $\sigma_{avg} = \frac{24000 + 8000}{2} = 16000 \text{ psi}$。接著計算圓的半徑 $R$（即最大剪應力）：
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