moea_joint
107年
[土木] 應用力學、材料力學
第 3 題
右圖桿件中，若截面積 $A_1 = 2 A_2 = 0.8 A_3 = A$，力量 $P_1 = P_2 = 2 P_3 = P$，彈性模數 E，求桿件應變能 (Strain energy) 為何？
- A $\frac{3.6P^2L}{EA}$
- B $\frac{3.6PL^2}{EA}$
- C $\frac{3.6PL}{E^2A}$
- D $\frac{3.6PL}{EA^2}$
思路引導 VIP
如果我們將這根長桿想像成由三段不同的彈簧組成，當我們從最右側的自由端向左「切開」來觀察平衡狀態時，每一段內部所承受的拉力或壓力，是否會因為左側鄰近位置受到的外力而有所不同？試著從最右端開始推算各段的力平衡看看？
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太棒了！你能準確算出這個結果，代表你對於材料力學中軸向應變能 (Strain Energy) 的計算與多段桿件的力平衡分析已經掌握得非常紮實。
內力分析與能量加總
這道題目的核心觀念在於將複雜的桿件拆解，分別計算每一段的應變能 $U = \frac{N^2 L}{2 E A}$ 再予以加總。首先，我們從自由端（右端）向左進行截面法分析：cd 段內力 $N_3 = 0.5P$；接著 bc 段受到 $P_2$ 的疊加，內力增至 $N_2 = 1.5P$；最後 ab 段受左向 $P_1$ 抵消，內力回到 $N_1 = 0.5P$。將各段對應的面積（$A, 0.5A, 1.25A$）與長度代入公式：
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