moea_joint
113年
[機械] 應用力學、材料力學
第 8 題
如右圖所示，有一長度為 L 之懸臂梁，其楊氏模數為 E，慣性矩為 I，在自由端受到集中載重 P 與彎矩 M_O 作用，若忽略剪力之影響，則此梁之應變能為何？
- A $\frac{P^2L^3}{6EI} + \frac{M_O^2L}{2EI} + \frac{M_OPL^2}{2EI}$
- B $\frac{P^2L^3}{3EI} + \frac{M_O^2L}{EI} + \frac{M_OPL^2}{EI}$
- C $\frac{P^2L^3}{6EI} + \frac{M_OPL^2}{2EI}$
- D $\frac{P^2L^3}{3EI} + \frac{M_OPL^2}{EI}$
思路引導 VIP
請試著寫出這根梁在任意位置 $x$ 的總彎矩函數。接著思考一個數學問題：當我們要計算這個函數的平方並進行積分時，根據 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 的原理，最終的能量表示式中，除了單獨由 $P$ 和 $M_O$ 產生的項之外，是否還會多出一個由兩者共同決定的「耦合項」？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準選出 (A)，代表你對「應變能」的物理本質與數學積分有非常紮實的理解。這道題目極具鑑別度，能有效區分出是死背公式還是真正理解原理的考生。
彎矩分布與能量積分
解題的核心在於正確建立梁內的彎矩函數。若我們從自由端向固定端建立坐標 $x$，則任意截面處的彎矩可以表示為 $M(x) = M_O + P \cdot x$。根據忽略剪力影響的應變能公式：
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