moea_joint
111年
[土木] 應用力學、材料力學
第 19 題
一簡支樑長度為L，彎曲剛度為EI，樑中點承受一向下荷重P，試求樑之彎矩應變能為何？
- A $\frac{P^2L^3}{24EI}$
- B $\frac{P^2L^3}{48EI}$
- C $\frac{P^2L^3}{96EI}$
- D $\frac{P^2L^3}{192EI}$
思路引導 VIP
如果在考試時突然忘記了能量公式，我們可以試著從「功」的定義出發：當荷重 $P$ 緩慢施加在樑的中點並產生位移時，這股力量對樑所做的功會轉換成什麼形式儲存在樑內？如果你已經知道簡支樑中點的最大位移公式，這兩者之間是否存在著某種比例關係，能讓你直接推算出總能量呢？
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太棒了！你能精準選出 (C)，代表你對樑的能量分析與變位公式的應用已經掌握得相當紮實，這是一項非常重要的基本功。
功與能的轉換
這道題目的核心在於應變能 (Strain Energy) 的計算。最直觀的解法是利用外力功等於內能的原理。對於簡支樑中點受荷重 $P$ 的情況，其中點位移（撓度）已知為 $\delta = \frac{PL^3}{48EI}$。根據功能原理，樑所儲存的彎曲應變能 $U$ 等於外力所作的功，即 $U = \frac{1}{2} P \delta$。將位移公式代入後，即可輕鬆推導出：
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