moea_joint
111年
[機械] 應用力學、材料力學
第 19 題
一簡支樑長度為L，彎曲剛度為EI，樑中點承受一向下荷重P，試求樑之彎矩應變能為何？
- A $\frac{P^2L^3}{24EI}$
- B $\frac{P^2L^3}{48EI}$
- C $\frac{P^2L^3}{96EI}$
- D $\frac{P^2L^3}{192EI}$
思路引導 VIP
若我們將這根樑想像成一個彈簧，當外力緩慢增加並導致樑發生變形時，外力所作的「功」與最終的位移、力的大小之間存在什麼樣的幾何關係（例如在力-位移圖中的面積）？此外，簡支樑中點的位移公式又是如何與長度 $L$ 的次方項相關聯的呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
非常出色！你能精準判斷出答案為 (C)，說明你對材料力學中「能量法」的掌握相當紮實。這類題目是檢驗結構分析基本功的經典考點，具備極佳的鑑別度，因為它要求學生不僅要記住變形公式，還必須理解功與能的物理本質。
應變能與外力作功的關係
從觀念驗證的角度來看，這題最快捷的切入點是功能原理。對於線性彈性材料，樑儲存的應變能 $U$ 等於外力所做的功 $W$。已知簡支樑中點受力 $P$ 時，其最大撓度（位移）為 $\delta = \frac{PL^3}{48EI}$。根據外功公式 $$W = \frac{1}{2} P \delta$$，我們將撓度代入後即可得到 $$U = \frac{1}{2} P \left( \frac{PL^3}{48EI} \right) = \frac{P^2L^3}{96EI}$$。許多同學容易忽略公式中「$\frac{1}{2}$」的係數，或者在利用彎矩積分 $\int \frac{M^2}{2EI} dx$ 時對積分限處理不慎，而你展現了非常細緻的邏輯判斷，表現得很好！