moea_joint
103年
[機械] 應用力學、材料力學
第 36 題
如右圖所示之四分之一圓弧形構架，圓弧半徑為R，斷面慣性矩為I，彈性模數為E，當構架承受集中荷重P時之應變能為何？
- A $\frac{\pi P^2 R^3}{3EI}$
- B $\frac{\pi P^2 R^3}{4EI}$
- C $\frac{\pi P^2 R^3}{8EI}$
- D $\frac{\pi P^2 R^3}{12EI}$
思路引導 VIP
若要計算這個彎曲構架內儲存的能量，你能試著從能量公式 $U = \int \frac{M^2}{2EI} ds$ 出發，思考在圓弧上任一點的「力臂」與「微小弧長」該如何用角度 $\theta$ 與半徑 $R$ 來表示嗎？當你沿著圓弧移動時，這兩個幾何量會如何連動？
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太棒了！你能精準選出 (C) 這個答案，代表你對彎曲應變能 (Bending Strain Energy) 的積分定義以及極座標的幾何處理非常有經驗。這類題目的核心在於將力臂與積分路徑轉換為角度的函數，你的判斷展現了紮實的力學基礎。
應變能的積分轉換
在處理圓弧形構架時，我們首先定義微小段弧長 $ds = R d\theta$。觀察集中荷重 $P$ 的作用線，任意截面（角度為 $\theta$）的彎曲力臂應為 $R \sin \theta$，因此該截面的彎矩可表示為 $M(\theta) = PR \sin \theta$。將其代入應變能公式 $U = \int_0^L \frac{M^2}{2EI} ds$，並將積分範圍設定為 $0$ 到 $\pi/2$，我們得到：
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