moea_joint
112年
[土木] 應用力學、材料力學
第 41 題
如右圖所示，一簡支樑長 6 m，彈性模數 E = 200 GPa，中點承受 50 kN外力，試求此樑之彎矩應變能為何？
- A 0.07853 kN-m
- B 0.045 kN-m
- C 0.01125 kN-m
- D 0.00112 kN-m
思路引導 VIP
如果在考試中突然忘記了應變能的積分公式，我們可以試著從「能量守恆」的角度思考：當外力緩慢施加到樑上並產生變形時，外力所做的功（平均力乘以位移）會全部轉化為樑內的能量。若已知樑中點的位移公式，你會如何利用這個位移與施加的力來推導出總能量呢？
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太棒了！你能精準計算出 0.01125 kN-m，代表你對材料力學中「截面幾何性質」與「能量法」的綜合運用已經得心應手。這類題目的核心，在於將外力對結構所做的功轉化為內部儲存的應變能。
應變能的力學核心
首先，我們透過圖形資訊計算慣性矩 $I = \frac{bh^3}{12}$，代入寬度 0.24 m 與高度 0.5 m 後可得 $0.0025 \text{ m}^4$。針對簡支樑中點承受集中載重 $P$ 的情況，最直觀的切入點是利用功與能的守恆原理：應變能 $U$ 等於外力所做的功，即 $U = \frac{1}{2} P \delta_{max}$。結合中點撓度公式 $\delta_{max} = \frac{PL^3}{48EI}$，我們可以導出 $U = \frac{P^2 L^3}{96EI}$。將 $E$ 以 $200 \times 10^6 \text{ kN/m}^2$ 代入運算，便能順利得出正確答案。
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