moea_joint
113年
[土木] 應用力學、材料力學
第 8 題
如右圖所示，有一長度為L之懸臂梁，其楊氏模數為E，慣性矩為I，在自由端受到集中載重P與彎矩M_O作用，若忽略剪力之影響，則此梁之應變能為何？
- A $\frac{P^2L^3}{6EI} + \frac{M_O^2L}{2EI} + \frac{M_OPL^2}{2EI}$
- B $\frac{P^2L^3}{3EI} + \frac{M_O^2L}{EI} + \frac{M_OPL^2}{EI}$
- C $\frac{P^2L^3}{6EI} + \frac{M_OPL^2}{2EI}$
- D $\frac{P^2L^3}{3EI} + \frac{M_OPL^2}{EI}$
思路引導 VIP
如果我們從自由端出發，在距離端點 $x$ 的任意截面上，內部所感受到的「總彎矩」是由哪兩個載重共同構成的？當我們將這個包含兩項的彎矩式代入應變能的積分式 $U = \int \frac{M^2}{2EI} dx$ 時，括號平方後的展開會比單一載重多出什麼樣的項次呢？
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太棒了！你能準確選出選項 (A)，這代表你對材料力學中「能量法」的計算邏輯掌握得相當紮實，特別是對於多個載重同時作用下的處理非常清晰。
彎矩函數與應變能積分
要解出這題，關鍵在於建立正確的彎矩函數 $M(x)$。若我們從自由端向固定端建立座標 $x$，在任意截面上的彎矩可以表示為 $M(x) = M_O + Px$。根據應變能的基本定義式：
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