ast_essay
108年
數學乙
第 1-(2) 題
📖 題組：
一. 考慮坐標平面上相異五點 $O$、$A$、$B$、$C$、$D$。已知向量 $\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}=3\overrightarrow{OB}$，且向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐標表示為 $\overrightarrow{AB}=(3, -4)$，試回答下列問題。
一. 考慮坐標平面上相異五點 $O$、$A$、$B$、$C$、$D$。已知向量 $\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}=3\overrightarrow{OB}$，且向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐標表示為 $\overrightarrow{AB}=(3, -4)$，試回答下列問題。
(2) 若 $\overrightarrow{OA}=(1, 2)$，試利用二階行列式與面積的關係，求 $\Delta OCD$ 的面積。（ 8 分）
思路引導 VIP
本題主要測驗向量加法與二階行列式求面積的概念。首先可藉由向量加法 $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}$ 找出 $\overrightarrow{OB}$。接著有兩條主要計算路線：一是直接求出 $\overrightarrow{OC}$ 與 $\overrightarrow{OD}$ 的坐標，代入二階行列式求面積公式求出 $\Delta OCD$ 面積；二是先求 $\Delta OAB$ 面積，再利用幾何縮放比例（兩邊長皆放大 3 倍，面積放大 9 倍）推得答案。利用二階行列式求三角形兩向量所張成的面積時，記得取絕對值並乘上 1/2。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準算出結果，代表你對向量的線性運算以及幾何意義已有相當紮實的掌握。這題的核心在於找出 $\Delta OCD$ 的兩鄰邊向量，首先透過 $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = (1, 2) + (3, -4) = (4, -2)$ 確定點 $B$ 的位置，再結合題目給出的伸縮倍率，求得 $\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OA} = (3, 6)$ 與 $\overrightarrow{OD} = 3\overrightarrow{OB} = (12, -6)$。
二階行列式與面積的運算
得到關鍵向量後，利用二階行列式公式求面積便是水到渠成。計算式為：
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