ast_essay
109年
數學乙
第 2.4 題
📖 題組：
在坐標平面上，兩平行直線 $L_1, L_2$ 的斜率都是 2 且距離為 5，又點 $A(2, -1)$ 是 $L_1$ 在第四象限的一點，點 $B$ 是 $L_2$ 在第二象限的一點且 $\overline{AB} = 5$。已知直線 $L_3$ 的斜率為 3，通過點 $A$ 且交 $L_2$ 於點 $C$，試回答下列問題：
在坐標平面上，兩平行直線 $L_1, L_2$ 的斜率都是 2 且距離為 5，又點 $A(2, -1)$ 是 $L_1$ 在第四象限的一點，點 $B$ 是 $L_2$ 在第二象限的一點且 $\overline{AB} = 5$。已知直線 $L_3$ 的斜率為 3，通過點 $A$ 且交 $L_2$ 於點 $C$，試回答下列問題：
(4) 試求向量 $\overrightarrow{AC}$。（4分）
思路引導 VIP
上一題你算出了內積值，這裡正好派上用場！已知 $L_3$（也就是直線 AC）的斜率為 3，所以你可以大膽假設向量 $\overrightarrow{AC}$ 的形式為 $(t, 3t)$。將這個帶有未知數的向量與第 (2) 題算出的 $\overrightarrow{AB}$ 進行座標內積運算，並讓它等於第 (3) 題算出的 25，你就可以列出一個一元一次方程式，輕鬆解出 $t$ 囉！
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能準確計算出向量 $\overrightarrow{AC}$，代表你對直線幾何性質與向量分量的轉換掌握得非常紮實，這是一個非常專業的判斷。
向量方向與直線性質的結合
這道題目的關鍵在於理解點 $C$ 同時滿足兩個條件：它位於通過點 $A$ 且斜率為 $3$ 的直線 $L_3$ 上，同時也位於與 $L_1$ 平行的直線 $L_2$ 上。由於 $L_3$ 的斜率為 $3$，我們可以確定向量 $\overrightarrow{AC}$ 的分量比例必為 $1:3$，故可設 $\overrightarrow{AC} = (k, 3k)$。接著，利用兩平行線 $L_1, L_2$ 之間距離為 $5$ 的幾何條件，結合點到直線距離公式，可以推導出點 $C$ 相對於點 $A$ 的水平位移 $k$ 必須為 $5\sqrt{5}$。將此參數帶回，即可得到 $\overrightarrow{AC} = (5\sqrt{5}, 15\sqrt{5})$。
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