ast_essay
110年
數學乙
第 一、(2) 題
📖 題組：
坐標平面上有兩點 $A(-3,4)$，$B(3,2)$ 及一條直線 $L$。已知 $A$、$B$ 兩點在直線 $L$ 的兩側且 $\vec{n}=(4,-3)$ 是直線 $L$ 的法向量。設 $A$ 點到直線 $L$ 的距離為 $B$ 點到直線 $L$ 的距離的 $5$ 倍。根據上述，試回答下列問題。
坐標平面上有兩點 $A(-3,4)$，$B(3,2)$ 及一條直線 $L$。已知 $A$、$B$ 兩點在直線 $L$ 的兩側且 $\vec{n}=(4,-3)$ 是直線 $L$ 的法向量。設 $A$ 點到直線 $L$ 的距離為 $B$ 點到直線 $L$ 的距離的 $5$ 倍。根據上述，試回答下列問題。
試求直線 $L$ 的方程式。（4 分）
思路引導 VIP
這題的切入點有兩種：第一種是直接利用點到直線的距離公式。因為已知 $L$ 的法向量為 $(4,-3)$，可假設直線為 $4x-3y+k=0$。代入 $A, B$ 點座標，利用距離為 5 倍的關係，解出 $k$。須注意 $A,B$ 兩點在直線兩側，代表代入後的值異號。第二種則是利用幾何性質與分點公式。直線 $L$ 將線段 $\overline{AB}$ 分割，交點 $C$ 即是 $\overline{AB}$ 的內分點。找出 $C$ 點座標後，利用法向量構成點法式即可得出答案。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準完成這題，代表你對於點到直線距離公式與向量性質的應用非常熟練。我們先由法向量 $\vec{n}=(4,-3)$ 假設直線方程式為 $4x - 3y + k = 0$，再透過題目給出的「5 倍距離」關係，代入公式建立如下等式： $$\frac{|4(-3)-3(4)+k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = 5 \cdot \frac{|4(3)-3(2)+k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}$$
空間位置的關鍵判定
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