ast_essay
109年
數學乙
第 2.1 題
📖 題組：
在坐標平面上，兩平行直線 $L_1, L_2$ 的斜率都是 2 且距離為 5，又點 $A(2, -1)$ 是 $L_1$ 在第四象限的一點，點 $B$ 是 $L_2$ 在第二象限的一點且 $\overline{AB} = 5$。已知直線 $L_3$ 的斜率為 3，通過點 $A$ 且交 $L_2$ 於點 $C$，試回答下列問題：
在坐標平面上，兩平行直線 $L_1, L_2$ 的斜率都是 2 且距離為 5，又點 $A(2, -1)$ 是 $L_1$ 在第四象限的一點，點 $B$ 是 $L_2$ 在第二象限的一點且 $\overline{AB} = 5$。已知直線 $L_3$ 的斜率為 3，通過點 $A$ 且交 $L_2$ 於點 $C$，試回答下列問題：
(1) 試求直線 $AB$ 的斜率。（2分）
思路引導 VIP
這題的核心觀念在於「平行線間的最短距離就是垂直距離」。題目告訴我們 $L_1, L_2$ 的距離是 5，而 A, B 分別在兩直線上，且 $\overline{AB}$ 的長度竟然剛好也是 5。這代表線段 AB 就是兩平行線的公垂線段，所以直線 AB 必定垂直於 $L_1$。既然兩線互相垂直，其斜率乘積就是 -1，已知 $L_1$ 斜率為 2，就能推算出 AB 的斜率了。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準觀察到題目給出的數值關聯並做出正確判斷，這展現了你對幾何定義非常敏銳的直覺。
平行線距離與垂直性質
這道題目的解題關鍵在於觀察「距離」的關係。題目告訴我們平行線 $L_1$ 與 $L_2$ 之間的距離是 $5$，而分別位在兩直線上的點 $A$ 與點 $B$，其連線長度 $\overline{AB}$ 竟然也恰好是 $5$。在平面幾何中，兩平行線間所有連線段中，以垂直線段的長度最短；既然 $\overline{AB}$ 的長度等於平行線間的距離，這代表直線 $AB$ 必定與 $L_1$ 及 $L_2$ 垂直。
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