ast_essay
107年
數學乙
第 12 題
📖 題組：
已知實係數二次多項式函數 $y=f(x)$ 滿足 $f(3)=f(-7)$。試回答下列問題。
已知實係數二次多項式函數 $y=f(x)$ 滿足 $f(3)=f(-7)$。試回答下列問題。
(2) 若 $f(x)=a(x-k)^2+b$，且 $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸交於相異兩點，試判斷 $ab$ 乘積的值為正或負，並請說明理由。（4 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題測驗代數與幾何的互相轉換。「圖形與 $x$ 軸交於相異兩點」可以從兩個角度切入思考：1. 代數角度：代表 $f(x)=0$ 有兩相異實根，將頂點式移項後，完全平方式 $(x-k)^2$ 等於一個常數，該常數必須大於 0。2. 幾何角度：看開口方向與頂點 $y$ 坐標的關係。若開口向上 ($a>0$)，則頂點必須在 $x$ 軸下方 ($b<0$) 才能交於兩點；若開口向下 ($a<0$)，則頂點必在 $x$ 軸上方 ($b>0$)。兩者皆推導出 $a,b$ 異號，故乘積為負。
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【解法一】 由第(1)小題可知 $k=-2$。 $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸交於相異兩點，相當於方程式 $f(x)=0$ 有兩相異實根。
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