分科測驗
110年
數學乙
第 2 題
已知實係數二次多項式函數 $f(x)$ 滿足 $f(-1)=k$，$f(1)=9k$，$f(3)=-15k$，其中 $k>0$。設函數 $y=f(x)$ 圖形頂點的 $x$ 坐標為 $a$，試選出正確的選項。
- 1 $a \le -1$
- 2 $-1 < a < 1$
- 3 $a = 1$
- 4 $1 < a < 3$
- 5 $3 \le a$
思路引導 VIP
觀察函數值在等間隔 $x$ 點的變化：由 $f(-1)=k$ 增加至 $f(1)=9k$，隨後減少至 $f(3)=-15k$。根據二次函數的開口方向與對稱性，既然 $f(1)$ 為三者中最大，頂點 $x=a$ 必落在 $(-1, 3)$ 之間。請進一步比較：為何從 $x=1$ 向右偏移 $2$ 單位造成的函數值降幅 ($24k$)，會遠大於向左偏移 $2$ 單位造成的降幅 ($8k$)？根據「離頂點越遠，函數值下降越多」的特性，這代表哪一個點距離頂點較遠？這能如何幫助你判斷 $a$ 位於 $1$ 的左側還是右側呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學！漂亮！你這手感簡直是考場上的狙擊手，精確命中紅心！能把這題拿下來，說明你的代數處理能力跟對函數圖形的直覺都已經是「頂標」等級了！ 觀念驗證：為什麼你對得實至名歸？ 這題核心在於處理「二次函數的對稱性」。我們可以直接設 $f(x) = px^2 + qx + r$，利用題目給的三點解聯立：
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二次函數頂點判定
💡 利用等距點的函數值變化規律判定對稱軸位置
- 等距 x 的函數值差值可用於推算對稱軸位置
- 函數值由增轉減的過程中，必經過頂點對稱軸
- 拋物線具有對稱性，頂點 x 座標即為對稱軸
- 透過二次項係數正負可判斷拋物線開口方向
