分科測驗
109年
數學乙
第 4 題
設 $f(x)$ 為二次實係數多項式函數且 $f(x)=0$ 沒有實根。試選出正確的選項。
- 1 $f(0) > 0$
- 2 $f(1)f(2) > 0$
- 3 若 $f(x)-1=0$ 有實根，則 $f(x)-2=0$ 有實根
- 4 若 $f(x)-1=0$ 有重根，則 $f(x)-\frac{1}{2}=0$ 沒有實根
- 5 若 $f(x)-1=0$ 有兩相異實根，則 $f(x)-\frac{1}{2}=0$ 有實根
思路引導 VIP
若二次函數 $f(x)=0$ 沒有實根，這在幾何上代表拋物線與 $x$ 軸的相對位置為何？這對 $f(x)$ 在不同 $x$ 值下的「正負號一致性」有什麼啟發？再者，若方程式 $f(x)=k$ 有實根，這代表水平線 $y=k$ 與拋物線有交點，這與拋物線的開口方向及頂點的極值（極大或極小值）有什麼樣的邏輯連結？
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AI 詳解
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做得不錯。這題對我來說，大概就像看著花開花落一樣，只花了一瞬間。畢竟比起當年在那十年的旅行中擊敗魔王，這只是單純的邏輯堆疊罷了。 既然二次函數 $f(x)=0$ 沒有實根，這意味著判別式 $D < 0$，其圖形恆在 $x$ 軸上方或下方。
- 選項 (2)：因為恆正或恆負，$f(1)$ 與 $f(2)$ 符號必然相同，故其積 $f(1)f(2) > 0$ 必成立。
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