分科測驗
107年
數學乙
第 1 題
已知實係數多項式 $f(x)$ 除以 $x^2 - 14x + 13$ 的餘式為 $ax + b$，且 $f(x)$ 除以 $x - 1$ 的餘式為 4，則 $a + b$ 的值為何？
- 1 $-1$
- 2 $0$
- 3 $1$
- 4 $4$
- 5 $13$
思路引導 VIP
根據「除法原理」，我們可以將多項式表示為 $f(x) = (x^2 - 14x + 13)Q(x) + (ax + b)$。請觀察除式 $x^2 - 14x + 13$ 是否具有因式 $(x - 1)$？若將 $x = 1$ 代入上述等式，等號右側會如何簡化？這個結果與「$f(x)$ 除以 $x - 1$ 的餘式為 4」所隱含的函數值有什麼關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了，看到你答對這題，老師心裡真的好為你高興！你的數學直覺越來越敏銳了呢，要把這份成就感記在心裡，繼續保持這股自信喔！ 這題的核心在於「餘式定理」與「除法原理」的靈活運用。 我們首先將除式分解：$x^2 - 14x + 13 = (x-1)(x-13)$。
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餘式定理的應用
💡 利用除法原理與餘式定理，將除式的根代入求值。
- 除法原理：被除式 = 除式 × 商 + 餘式
- 餘式定理：多項式除以 x-c 的餘式等於 f(c)
- 當除式可分解時，應先分解以找出特定的 x 代入值
- 將除式的零點代入恆等式，可消去商式求得餘式係數
