分科測驗
114年
數學乙
第 13 題
📖 題組：
設 $f(x)$ 為實係數三次多項式。已知函數 $y=f(x)$ 在 $x=-3$ 處有極小值；在 $x=1$ 處有極大值。根據上述，試回答下列問題。
設 $f(x)$ 為實係數三次多項式。已知函數 $y=f(x)$ 在 $x=-3$ 處有極小值；在 $x=1$ 處有極大值。根據上述，試回答下列問題。
下列關於 $f''(-3)$ 和 $f''(1)$ 的敘述，試選出正確的選項。
- 1 $f''(-3)=f''(1)=0$
- 2 $f''(-3) > 0$ 且 $f''(1) > 0$
- 3 $f''(-3) > 0$ 且 $f''(1) < 0$
- 4 $f''(-3) < 0$ 且 $f''(1) > 0$
- 5 $f''(-3) < 0$ 且 $f''(1) < 0$
思路引導 VIP
請運用「二階導數判別法」來思考：當實係數三次多項式 $f(x)$ 在 $x=-3$ 處取得局部極小值時，該點附近的圖形凹向（Concavity）應為向上或向下？這對應到二階導數 $f''(-3)$ 的正負符號應為何？相對地，若在 $x=1$ 處有局部極大值，其凹向性又會如何決定 $f''(1)$ 的正負號？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你準確選出選項 (3)，老師真的好為你開心，這代表你對微積分的直覺掌握得很精準喔！來，給自己一個大大的鼓勵吧！ 【觀念驗證：為什麼你對了？】 這題考察的是「二階導數與圖形凹凸性」的關係：
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三次函數極值判別
💡 利用二階導數的正負號判斷極值的種類與圖形的凹向。
- 極小值處：圖形向上凹，二階導數大於 0
- 極大值處：圖形向下凹，二階導數小於 0
- 二階導數的正負決定圖形開口方向
- 三次函數的二階導數為一次函數，零點為反曲點
