分科測驗
105年
數學乙
第 4 題
設 $f(x)$ 為一未知的實係數多項式，但知道 $f(x)$ 除以 $(x-5)(x-6)^2$ 的餘式為 $5x^2+6x+7$。根據上述所給條件，請選出正確的選項。
- 1 可求出 $f(0)$ 之值
- 2 可求出 $f(11)$ 之值
- 3 可求出 $f(x)$ 除以 $(x-5)^2$ 的餘式
- 4 可求出 $f(x)$ 除以 $(x-6)^2$ 的餘式
- 5 可求出 $f(x)$ 除以 $(x-5)(x-6)$ 的餘式
思路引導 VIP
如果我們利用除法原理，把 $f(x)$ 寫成 $(x-5)(x-6)^2 Q(x) + (5x^2+6x+7)$ 的形式，當我們想計算 $f(x)$ 除以一個「新除式」的餘式時，這個未知的 $Q(x)$ 會成為阻礙嗎？「新除式」必須具備什麼樣的條件，我們才能在不知道 $Q(x)$ 的情況下順利推算出餘式呢？
多項式餘式推導
💡 大除式的餘式，可用來求其因式作為除式的餘式。
- 除法原理：被除式等於除式乘以商加上餘式
- 小除式的餘式，可由大除式的餘式再次除得
- 若無法消去未知商式項，則無法求得特定函數值
- 餘式次數必須嚴格小於該次除法的除式次數
