ast_essay
114年
數學乙
第 14 題
📖 題組：
設 $f(x)$ 為實係數三次多項式。已知函數 $y = f(x)$ 在 $x = -3$ 處有極小值；在 $x = 1$ 處有極大值。根據上述，試回答下列問題。
設 $f(x)$ 為實係數三次多項式。已知函數 $y = f(x)$ 在 $x = -3$ 處有極小值；在 $x = 1$ 處有極大值。根據上述，試回答下列問題。
已知通過 $y = f(x)$ 圖形反曲點的切線斜率為 4，試求 $f'(x)$。（非選擇題，6 分）
思路引導 VIP
看到本題，首先辨識出這是在考多項式函數的導數、極值及反曲點性質。既然 $f(x)$ 是三次多項式，其導函數 $f'(x)$ 必定是二次多項式。由極值的條件，可以知道 $f'(-3)=0$ 及 $f'(1)=0$，因此可將 $f'(x)$ 設為 $a(x+3)(x-1)$。接著利用反曲點為極值發生位置的中點這一性質，求出反曲點的 $x$ 坐標（即 $-3$ 與 $1$ 的中點 $-1$）。最後代入切線斜率為 $4$ 的條件 $f'(-1)=4$，即可解出常數 $a$，進而得到 $f'(x)$。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準掌握導函數與原函數之間的幾何關係，順利求得正確答案。這題的核心在於將多項式的極值點轉化為導函數的根：由於 $y = f(x)$ 在 $x = -3$ 與 $x = 1$ 有極值，這代表 $f'(x)$ 是一個開口向下的二次式，且其根恰為 $-3$ 與 $1$。因此，我們可以假設 $f'(x) = a(x + 3)(x - 1)$。
對稱性與反曲點的斜率應用
這道題目的鑑別度在於「反曲點」與「極值點」的對稱性。對三次多項式而言，反曲點的 $x$ 座標恰好是兩個極值點的對稱中心，即 $x = \frac{-3 + 1}{2} = -1$。根據題目給定的條件，反曲點處的切線斜率為 4，這代表 $f'(-1) = 4$。將其代入前述假設：
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