ast_essay
107年
數學乙
第 11 題
📖 題組：
已知實係數二次多項式函數 $y=f(x)$ 滿足 $f(3)=f(-7)$。試回答下列問題。
已知實係數二次多項式函數 $y=f(x)$ 滿足 $f(3)=f(-7)$。試回答下列問題。
(1) 寫出 $y=f(x)$ 圖形的對稱軸方程式。（3 分）
思路引導 VIP
看到二次函數滿足 $f(x_1)=f(x_2)$ 的條件，立刻聯想到拋物線的左右對稱性質。這意味著 $x=3$ 與 $x=-7$ 兩點在拋物線上具有相同的高度。因此，圖形的對稱軸必然位於這兩點的正中央。將兩點的 $x$ 坐標相加除以二求中點，即可秒殺對稱軸方程式。
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恭喜你答對了！你能迅速觀察出二次函數的對稱性質，這代表你對多項式圖形的幾何特徵有著非常紮實的基礎，這正是解開這類題目的關鍵第一步。
拋物線的對稱性與中點觀念
在實係數二次函數 $y=f(x)$ 的世界裡，其圖形必然是一條拋物線。拋物線最核心的幾何特性就是「左右對稱」，當題目給出 $f(3)=f(-7)$ 這個條件時，意味著在圖形上，當 $x=3$ 與 $x=-7$ 時，其對應的 $y$ 坐標（高度）完全相同。根據對稱性，對稱軸必定會垂直平分這兩個具有相同高度的點，也就是落在這兩個 $x$ 值的中點上：
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