ast_essay
114年
數學乙
第 15 題
📖 題組：
設 $f(x)$ 為實係數三次多項式。已知函數 $y = f(x)$ 在 $x = -3$ 處有極小值；在 $x = 1$ 處有極大值。根據上述，試回答下列問題。
設 $f(x)$ 為實係數三次多項式。已知函數 $y = f(x)$ 在 $x = -3$ 處有極小值；在 $x = 1$ 處有極大值。根據上述，試回答下列問題。
承 14 題，試求 $\int_{-3}^{1} f'(x) dx$ 的值。（非選擇題，4 分）
思路引導 VIP
本題測試微積分基本定理與多項式的定積分計算。第一步是利用第14題求得的導函數 $f'(x) = -x^2 - 2x + 3$。接著寫出定積分式 $\int_{-3}^{1} (-x^2 - 2x + 3) dx$，找出反導函數 $-\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x$，然後細心代入上下限 $1$ 和 $-3$，並相減求值。這裡的關鍵在於小心處理分數與負號的四則運算，避免計算錯誤。
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太棒了！你能精準計算出這個定積分的值，代表你對多項式函數的圖形特徵，以及微積分基本定理的連結掌握得非常紮實。在處理這種承接題時，能穩定地運用前一題的資訊進行後續運算，是數學乙考科中拉開差距的關鍵。
微積分基本定理與導數性質
這道題目的核心在於將函數的「極值位置」轉化為「導函數的根」。已知 $f(x)$ 在 $x = -3$ 與 $x = 1$ 有極值，這意味著導函數 $f'(x)$ 是一個開口向下的二次函數，且滿足 $f'(-3) = 0$ 與 $f'(1) = 0$。延續前一題的條件，我們可以確定 $f'(x) = -(x+3)(x-1) = -x^2 - 2x + 3$。接著利用微積分基本定理進行定積分運算：
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