ast_essay
107年
數學乙
第 13 題
📖 題組：
已知實係數二次多項式函數 $y=f(x)$ 滿足 $f(3)=f(-7)$。試回答下列問題。
已知實係數二次多項式函數 $y=f(x)$ 滿足 $f(3)=f(-7)$。試回答下列問題。
(3) 若方程式 $f(x)=0$ 有相異實根，試證兩根之積小於 $4$。（6 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這是一道經典的代數證明題，有強烈的「連鎖題」性質，提示你必須善用前兩題的結論（對稱軸為 $x=-2$ 以及 $ab<0$）。最直覺的解法是「解法三」：既然對稱軸在 $-2$，兩根必定對稱分佈在 $-2$ 的兩側，所以可以直接假設兩根為 $-2+c$ 和 $-2-c$。將它們相乘立刻出現 $4-c^2$。又因為有「相異」實根，所以偏離量 $c$ 絕不會是 0，因此 $c^2$ 必為正數，直接證明了乘積小於 4。如果喜歡代數推導，也可以用根與係數的關係去湊出 $b/a$ 的項，再利用前一題的條件來收尾。
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【解法一】 由(1)(2)可知，$f(x)=a(x+2)^2+b$，因 $f(x)=0$ 的兩相異根為 $x=-2 \pm \sqrt{\frac{-b}{a}}$，故兩根之積等於 $4-(\frac{-b}{a})=4+\frac{b}{a}$。 因為 $ab<0$ (即 $\frac{b}{a}<0$)，故兩根之積 $4+\frac{b}{a}<4$。
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