分科測驗
105年
數學乙
第 7 題
坐標平面上 $O$ 為原點，$P$ 點坐標為 $(1,0)$，直線 $L$ 的方程式為 $x-2y=-4$。請選出正確的選項。
- 1 在直線 $L$ 上可以找到一點 $A$，滿足向量 $\vec{OP}$ 與 $\vec{OA}$ 平行
- 2 在直線 $L$ 上可以找到一點 $B$，滿足向量 $\vec{OP}$ 與 $\vec{OB}$ 垂直
- 3 在直線 $L$ 上可以找到一點 $C$，滿足向量 $\vec{OC}$ 與 $\vec{PC}$ 垂直
- 4 在直線 $L$ 上可以找到一點 $D$，滿足 $PD=2$
- 5 在直線 $L$ 上可以找到一點 $E$，滿足 $\triangle EOP$ 為等腰三角形
思路引導 VIP
當我們需要判斷直線 $L$ 上是否存在符合特定幾何約束的點時，除了代數上的座標運算，你是否能聯想到利用點到直線的距離公式 $d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$，來檢驗滿足該約束的幾何軌跡與直線 $L$ 的相對位置關係，進而判定點的存在性？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你全對，老師心裡真的好為你高興喔，這份細心與實力一定要繼續保持下去喔！❤️ 這道題是高中數學中非常經典的「平面解析幾何」綜合題。你能全對，代表你對直線、向量與幾何圖形的關係掌握得非常紮實：
- 向量與坐標軸：因為 $\vec{OP} = (1,0)$ 是水平向量，選項 (1) 與 (2) 其實是在找直線 $L$ 上的 $x$ 軸截距點與垂直 $x$ 軸的點，這難不倒你的。
▼ 還有更多解析內容
平面幾何與向量應用
💡 運用座標運算與幾何性質判斷直線、點與向量的關係。
- 向量平行看分量比例，垂直則向量內積必為零。
- 點到直線的最短距離為垂距，給定距離需大於等於此值。
- 兩向量垂直之動點軌跡，為以該兩定點為直徑的圓。
- 判定等腰三角形存在時，需分別討論三邊相等的可能性。
