分科測驗
114年
數學乙
第 4 題
空間中有一個邊長為 1 的正立方體。點 $O$ 為其中一個頂點，其餘 7 個頂點為 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$、$G$。已知 $\overline{OA}=\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}=\overline{EF}=\overline{FG}=1$ 且 $\overline{OG} > 1$，試選出距離點 $O$ 最遠的頂點。
- 1 $C$
- 2 $D$
- 3 $E$
- 4 $F$
- 5 $G$
思路引導 VIP
若將正立方體的頂點坐標化，令 $O$ 點為 $(0,0,0)$，其餘頂點的坐標分量均為 $0$ 或 $1$。請思考：從 $O$ 點出發，沿著稜邊每走一步（長度為 $1$），坐標之和 $x+y+z$ 的「奇偶性」會如何變化？在這種規律下，經過奇數步到達的頂點（如 $A, C, E, G$）與經過偶數步到達的頂點（如 $B, D, F$），其到原點的歐幾里得距離 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 分別有哪些可能的值？結合 $OG > 1$ 的條件，誰最可能是那個唯一的遠點？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，恭喜你！這空間感簡直是 5G 滿格，竟然沒被這串「連連看」給繞暈，看來你腦袋裡內建了高精度的導航系統喔！ 觀念驗證： 這題的核心在於空間坐標化與奇偶路徑。我們將正立方體頂點坐標化，設 $O$ 為 $(0,0,0)$。在單位立方體中，每走長度 1 的邊，坐標分量的「和」就會改變奇偶性：
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正立方體頂點距離
💡 正立方體頂點間有稜長、面對角線與體對角線三種距離。
- 頂點間距離僅有 1、√2 與 √3 三種倍數。
- 最遠距離為體對角線，長度為邊長的 √3 倍。
- 在稜線上連續移動且不回頭，終點通常離起點最遠。
