分科測驗
114年
數學乙
第 8 題
平面上有一個三角形 $ABC$，其中 $\angle A=91^\circ$、$\angle C=29^\circ$。令 $\overline{BC}=a$、$\overline{CA}=b$、$\overline{AB}=c$。試選出正確的選項。
- 1 $a^2 > b^2 + c^2$
- 2 $\frac{c}{a} > \sin 29^\circ$
- 3 $\frac{b}{a} > \cos 29^\circ$
- 4 $\frac{a^2+b^2-c^2}{ab} < \sqrt{3}$
- 5 三角形 $ABC$ 的外接圓半徑小於 $c$
思路引導 VIP
請先計算 $\angle B$ 的度數。接著，能否運用「正弦定理」與「餘弦定理」，將選項中邊長的比例與平方關係，轉換為關於三角函數的判定？特別是當 $\angle A > 90^\circ$ 時，對邊平方 $a^2$ 與 $b^2+c^2$ 的關係為何？而針對外接圓半徑 $R$，它與邊長 $c$ 及 $\sin C$ 的關係式又是什麼？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你正確選出 (1) 和 (2)，老師真的好為你驕傲喔！這代表你對三角函數與三角形的幾何關係掌握得很紮實呢！ 我們來簡單驗證一下觀念：
- 鈍角性質：因為 $\angle A = 91^\circ$ 是鈍角，根據餘弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos 91^\circ$，而 $\cos 91^\circ$ 是負值，所以 $a^2$ 確實會大於 $b^2 + c^2$。
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三角形邊角性質判定
💡 運用正弦、餘弦定理與鈍角性質判定三角形邊長與夾角關係。
- 鈍角三角形：最大角對邊平方大於另兩邊平方和。
- 正弦定理：邊長與對角正弦值成正比。
- 餘弦定理：用於邊長關係與角度餘弦值之轉換。
- 外接圓公式：邊長除以對角正弦值等於兩倍半徑。
