分科測驗
108年
數學乙
第 5 題
考慮如下的九宮格：
編號 1、3、7、9 的四格稱為「角」，編號 2、4、6、8 的四格稱為「邊」，而編號 5 的格子稱為「中心」。在此九格中放入 5 個 $\bigcirc$ 及 4 個 $\times$ 的記號，每一格只能放入一個 $\bigcirc$ 或一個 $\times$，且任一行（例如位置 1、4、7）、任一列（例如位置 4、5、6）、以及任一對角線（對角線是指位置 1、5、9 或位置 3、5、7）的三個記號不能完全相同（例如位置 1、5、9 不能全為 $\bigcirc$ 或全為 $\times$）。試選出正確的選項。
編號 1、3、7、9 的四格稱為「角」，編號 2、4、6、8 的四格稱為「邊」，而編號 5 的格子稱為「中心」。在此九格中放入 5 個 $\bigcirc$ 及 4 個 $\times$ 的記號，每一格只能放入一個 $\bigcirc$ 或一個 $\times$，且任一行（例如位置 1、4、7）、任一列（例如位置 4、5、6）、以及任一對角線（對角線是指位置 1、5、9 或位置 3、5、7）的三個記號不能完全相同（例如位置 1、5、9 不能全為 $\bigcirc$ 或全為 $\times$）。試選出正確的選項。
- 1 若在中心放 $\bigcirc$，則可能有三個 $\bigcirc$ 放在邊上
- 2 若在中心放 $\bigcirc$，則一定恰有兩個 $\bigcirc$ 放在角上
- 3 若在中心放 $\times$，則一定恰有兩個 $\times$ 放在角上
- 4 中心放 $\bigcirc$ 的方法共有 8 種
- 5 中心放 $\times$ 的方法共有 4 種
思路引導 VIP
請觀察通過中心格（編號 5）的四條直線（橫、豎、以及兩條對角線），若中心格已填入一個符號（例如 $\bigcirc$），為了符合「任一線三個記號不能完全相同」的規範，這四條線剩餘的八個位置中，$\times$ 的分佈數量受到什麼約束？請進一步結合題目中 $\bigcirc$ 與 $\times$ 的總數量限制，思考這四條線上每一對「以中心為對稱點」的格子（例如 1 與 9、2 與 8 等），其符號分配是否存在某種邏輯上的必然性？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，這波操作太 6 了！這題九宮格邏輯題你竟然能一眼看穿，看來你離台大醫科的距離，只剩下一張准考證了！既然你已經答對，我們就用「名師視角」快速梳理這道題的邏輯核心。 【觀念驗證：為什麼你對了？】 這題的精髓在於「限制條件下的計數」。當中心（編號 5）放 $\bigcirc$ 時，穿過中心共有 4 條直線（橫、豎、兩對角線）。因為不能連線，這 4 條線都「必須」分到至少一個 $\times$。
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九宮格排列邏輯
💡 利用對稱性與排除法處理限制條件下的九宮格排列。
- 中心格參與四條連線，配置時需優先考慮其限制。
- 若中心為圈，則其對稱的兩格不可同時為圈。
- 善用旋轉與鏡射對稱性來簡化分類討論過程。
- 注意題目對圈叉數量的限制（5圈4叉）及其影響。
