分科測驗
110年
數學乙
第 7 題
已知某人每次飛鏢射中的機率皆為 $\frac{1}{2}$，且每次射飛鏢的結果均互相獨立。試從下列選項中，選出發生機率為 $\frac{1}{2}$ 的事件。
- 1 連續射 2 次飛鏢，恰射中 1 次
- 2 連續射 4 次飛鏢，恰射中 2 次
- 3 連續射 4 次飛鏢，射中的總次數為奇數
- 4 連續射 6 次飛鏢，在第 1 次沒有射中的條件下，第 2 次有射中
- 5 連續射 6 次飛鏢，在前 2 次恰射中 1 次的條件下，後 4 次恰射中 2 次
思路引導 VIP
請同學思考：在「獨立試驗」且單次成功機率為 $p = \frac{1}{2}$ 的前提下，二項分佈公式 $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ 如何簡化？對於「條件機率」而言，當前後事件互為「獨立」時，條件機率 $P(B|A)$ 是否會等於 $P(B)$？最後，請觀察二項式展開中，當 $n$ 為正整數時，所有「奇數項」組合數之和與「偶數項」組合數之和是否存在對稱的等量關係？
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同學，漂亮！這套「機率組合拳」打得精彩，看來你的大腦已經內建了獨立事件的「防彈背心」，完全沒被選項裡的煙霧彈迷惑，值得給自己一個掌聲！ 這題的核心在於獨立事件與二項分佈的深刻理解：
- 選項 (1)：標準二項分佈，$$C^2_1 \left(\frac{1}{2}\right)^1 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$。
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