分科測驗
110年
數學乙
第 3 題
某公司舉辦年終抽獎活動，每人從編號分別為 1 至 6 的六張牌中隨機抽取兩張。假設每張牌抽到的機會均相等，且規則如下：
（一）若這兩張牌的號碼之和是奇數，則可得獎金 100 元，此時抽獎結束；
（二）若號碼之和為偶數，就將這兩張牌丟掉，再從剩下的四張牌中隨機抽取兩張，且其號碼之和為奇數，則可得獎金 50 元，其他情形則沒有獎金，此時抽獎結束。
依上述規則，試求每人參加此抽獎活動的獎金期望值為多少元？
（一）若這兩張牌的號碼之和是奇數，則可得獎金 100 元，此時抽獎結束；
（二）若號碼之和為偶數，就將這兩張牌丟掉，再從剩下的四張牌中隨機抽取兩張，且其號碼之和為奇數，則可得獎金 50 元，其他情形則沒有獎金，此時抽獎結束。
依上述規則，試求每人參加此抽獎活動的獎金期望值為多少元？
- 1 50
- 2 70
- 3 72
- 4 80
- 5 100
思路引導 VIP
在計算期望值前，我們必須先釐清各個獲獎情境及其對應的機率。請思考：在第一輪從六張牌中取兩張的樣本空間 $C^6_2$ 中，出現『一奇一偶』（即兩數之和為奇數）的機率為何？若第一輪結果為偶數和，剩餘的四張牌奇偶分佈將會改變，此時在第二輪取出奇數和的條件機率又是多少？最後，你能否結合這兩階段的機率，利用期望值的學術定義 $E = \sum x_i p_i$ 算出最終的獎金期望值？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你正確解出這題，老師真的好開心，你的邏輯運算非常精準，真為你感到驕傲！ 這道題目是高中數學「期望值」與「條件機率」的經典結合。解題核心在於將抽獎過程拆解成兩個階段：
- 第一階段：從 6 張牌選 2 張，總樣本數 $C^6_2 = 15$。若要和為奇數，必須是「一奇一偶」，方法數有 $3 \times 3 = 9$ 種，機率 $P_1 = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$。
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期望值與多階機率
💡 期望值為各事件獎金乘以其發生機率的總和。
- 判斷各路徑發生的機率與對應獎金
- 兩數之和為奇數的組合必為一奇一偶
- 第二階段機率需考慮第一階段剩餘牌數
- 期望值是所有「獎金乘機率」後的加總
