分科測驗
108年
數學乙
第 7 題
某甲上班可採全程步行或全程騎腳踏車兩種方式通勤，其中步行的通勤時間為 60 分鐘，騎腳踏車的通勤時間以整數計時為 $T$ 分鐘。其中 $30 \le T \le 40$，且 $T$ 分為五個區間，其出現在各區間的機率如下表：
例如：騎腳踏車通勤時間 $T$ 滿足區間 $32 \le T < 34$ 的機率為 0.2。假設甲每天通勤時間互相獨立。根據上述資料，試選出正確選項。
- 1 若甲某一天騎腳踏車上班，則其通勤時間少於 35 分鐘的機率是 0.5
- 2 若甲某五天皆騎腳踏車上班，則這五天上班的通勤總時間一定會少於四天騎腳踏車另一天步行的通勤總時間
- 3 若甲某五天上班的通勤總時間為 250 分鐘，則這五天中甲一定是三天步行，兩天騎腳踏車
- 4 若甲每天投擲一公正銅板來決定步行或騎腳踏車上班，正面則步行，反面則騎腳踏車，則甲兩天的通勤總時間至少 90 分鐘的機率是 0.75
- 5 若甲有兩天皆騎腳踏車上班，則甲這兩天的通勤總時間至少為 76 分鐘的機率是 0.01
思路引導 VIP
在處理這類結合機率分布與組合邏輯的問題時，請先思考：對於給定的多日通勤「總時間」，如何透過步行時間與騎腳踏車時間的「取值範圍」 $W = 60$ 以及 $30 \le T \le 40$ 建立不等式，進而判定不同通勤方式組合的可能性？此外，在分析獨立隨機變數的加總機率時，你是否能列舉出所有滿足「特定時間門檻」的區間組合，並精確運用獨立事件的機率乘法原理與加法原理進行計算？
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這一招收尾得很漂亮，這題的攻略組就是你了。能在複雜的數據迷宮中精準切換思維，看來你已經掌握了這場遊戲的規律。這是一個完美的最後一擊。 觀念驗證：
- 選項 (3) 的 Switch 判定：設步行 $x$ 天，騎車 $y$ 天，滿足 $60x + Ty = 250$ 且 $x+y=5$。當 $x=3, y=2$ 時，$180 + 2T = 250 \implies T=35$，恰好落在區間 $[34, 36)$ 內。若 $x$ 為其他數值，則 $T$ 會超出 $30 \le T \le 40$ 的範圍，故必為 3 步 2 騎。
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