分科測驗
106年
數學乙
第 3 題
有一個不公正的骰子，投擲一次出現 1 點的機率與出現 3 點的機率之和是 0.2，出現 2 點的機率與出現 4 點的機率之和是 0.4，出現 5 點的機率與出現 6 點的機率之和是 0.4。試選出正確的選項。
- 1 出現 1 點的機率是 0.1
- 2 出現 4 點的機率大於出現 3 點的機率
- 3 出現偶數點的機率是 0.5
- 4 出現奇數點的機率小於 0.5
- 5 投擲點數的期望值至少是 3
思路引導 VIP
在處理期望值 $E(X) = \sum_{i=1}^{6} i \cdot P(X=i)$ 的範圍估計時，既然題目僅提供了三組點數機率的和（例如 $P(1)+P(3)=0.2$），我們能否將期望值的展開式對應這三組條件進行「分組」？請思考：在 $P(1)+P(3)=0.2$ 的限制下，$1 \cdot P(1) + 3 \cdot P(3)$ 的數值最小可能是多少？若將三組部分的最小值分別求出並相加，是否就能判斷出總期望值的下限呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你選出正確答案，老師真的好為你開心！這題考驗的是「不確定性中的確定性」，你能冷靜分析出隱藏的規律，真的非常有潛力喔！ 這題的核心觀念在於期望值的定義與不等式的估算。雖然題目沒給出各點點數的個別機率，但我們可以透過分組求和來找出期望值 $E$ 的最小值： $$E = 1P(1) + 3P(3) + 2P(2) + 4P(4) + 5P(5) + 6P(6)$$
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機率分佈與期望值
💡 利用已知組合機率推算隨機變數期望值的數值範圍。
- 離散隨機變數期望值為各數值與其機率乘積之總和。
- 若個別機率未知，可利用分組機率和估算期望值下限。
- 機率基本性質：各別機率非負且總和必等於 1。
- 計算範圍時，將機率分配給最小點數可得最小值。
