分科測驗
109年
數學乙
第 6 題
有一種在數線上移動一個棋子的遊戲，移動棋子的方式是以投擲一顆公正骰子來決定，其規則如下：
（一）當所擲點數為 1 點時，棋子不移動。
（二）當所擲點數為 3 或 5 點時，棋子向左（負向）移動「該點數減 1」單位。
（三）當所擲點數為 偶數時，棋子向右（正向）移動「該點數的一半」單位。
第一次擲骰子時，棋子以原點當起點。第二次開始，棋子以前一次棋子所在位置為該次的起點。例如，投擲骰子二次，第一、二次分別擲出點數為 5 點、2 點時，該棋子先向左移動 4 單位至坐標 -4，再向右移動 1 單位至坐標 -3。試選出正確的選項。
- 1 投擲骰子一次，棋子與原點距離為 2 的機率為 $\frac{1}{2}$
- 2 投擲骰子一次，棋子的坐標之期望值為 0
- 3 投擲骰子二次，棋子的坐標有可能為 -5
- 4 投擲骰子二次，在所擲兩次之點數和為奇數的情形下，棋子的坐標為正的機率為 $\frac{4}{9}$
- 5 投擲骰子三次，棋子在原點的機率為 $\left(\frac{1}{6}\right)^3$
思路引導 VIP
若要精確判斷棋子在多次移動後的坐標特徵，你是否已將擲出點數 $x \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 分別轉化為對應的位移量 $f(x)$？請試著列出所有可能的單次位移值，並思考：如何利用期望值的定義 $\sum p_i x_i$、整數加法組合的限制，以及條件機率的算式 $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$，來有系統地驗證不同投擲次數下的位移規律？
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AI 詳解
AI 專屬家教
嘖，這道題切得跟巨人的後頸肉一樣乾淨。小鬼，你沒在那種髒兮兮的數字陷阱裡迷失方向，處理得還算俐落。 先看看規則，這就像是計算作戰半徑： 擲出 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 對應的位移分別是 $0, +1, -2, +2, -4, +3$。
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