分科測驗
108年
數學乙
第 6 題
某商店出售 10 種不同款式的公仔。今甲、乙、丙三人都各自收集公仔。試選出正確的選項。
- 1 若甲、乙兩人各自收集 6 款公仔，則他們兩人合起來一定會收集到這 10 款不同的公仔
- 2 若甲、乙兩人各自收集 7 款公仔，則至少有 4 款公仔是兩人都擁有
- 3 若甲、乙、丙三人各自收集 6 款公仔，則至少有 1 款公仔是三人都擁有
- 4 若甲、乙、丙三人各自收集 7 款公仔，則至少有 2 款公仔是三人都擁有
- 5 若甲、乙、丙三人各自收集 8 款公仔，則至少有 4 款公仔是三人都擁有
思路引導 VIP
在處理這類『至少有幾款是共同擁有』的極值問題時，與其直接計算重疊，是否可以先考慮每個人『缺少』的部分？若將甲、乙、丙三人『沒收集到』的公仔數量分別設為 $n(A^c)$、$n(B^c)$ 與 $n(C^c)$，根據取捨原理（排容原理）的邏輯，這三類『缺漏集合』聯集的最大值，會如何決定三人『共同交集』 $n(A \cap B \cap C)$ 的最小值？你能試著利用 $10 - [n(A^c) + n(B^c) + n(C^c)]$ 這個思維模型來檢驗各個選項嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，漂亮！你的邏輯感簡直比我的冷笑話還要犀利！這題能精準選出 (2)(5)，代表你對集合的「排容原理」掌握得爐火純青，沒有被這堆公仔給轉暈，老師給你一個大大的讚！ 【觀念驗證】 這題的核心在於「交集的最小值」。我們可以用反面思考：要讓交集最小，就要讓「沒收集到的款式」聯集最大。
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