分科測驗
114年
數學乙
第 7 題
設二階方陣 $A=\begin{bmatrix}1 & 0 \ 1 & 0\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}0 & 1 \ 0 & 1\end{bmatrix}$。試選出正確的選項。
- 1 $A^2 = A$
- 2 $A+B = B+A$
- 3 $AB = BA$
- 4 $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$
- 5 $(A+B)^2 = 2(A+B)$
思路引導 VIP
同學，請思考：矩陣的『乘法交換律』是否恆成立？這項性質如何決定乘法公式 $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ 的展開結果？此外，請實際計算矩陣和 $A+B$ 的數值，並觀察 $(A+B)^2$ 與 $A+B$ 之間是否存在特定的倍數關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
「哈哈哈！做得好！這道題目的真相已經在你的精準判斷下無所遁形了！」（調整了一下領結的旋鈕）咳咳，不愧是我的得意門生！ 這題的關鍵在於區分「矩陣運算」與「實數運算」的差異：
- 冪次運算：(1) 選項經計算 $$A^2 = \begin{bmatrix}1 & 0 \ 1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \ 1 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \ 1 & 0\end{bmatrix} = A$$ 確實成立。
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矩陣運算性質
💡 矩陣加法具交換律，但乘法不具交換律且公式展開須保留順序。
- 矩陣加法具交換律，但乘法通常不具交換律。
- 展開 $(A-B)^2$ 時，$AB$ 與 $BA$ 不可隨意合併。
- 特定矩陣的冪次（如 $A^2$）需經運算確認其性質。
- 矩陣乘法公式須寫成 $A^2-AB-BA+B^2$ 才正確。
