分科測驗
114年
數學乙
第 2 題
坐標平面上，試問下列哪一個方程式的圖形是通過點 $(1,1)$ 的圓？
- 1 $(x-1)^2+y^2=1$
- 2 $(x-1)^2+(y-1)^2=1$
- 3 $3(x-1)^2+y^2=1$
- 4 $x^2+y^2=1$
- 5 $x^2+y^2=34$
思路引導 VIP
若要判定一個方程式的圖形是否為「圓」且「通過點 $(1,1)$」，請先思考：圓的標準式 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ 中，$x^2$ 與 $y^2$ 項的係數關係為何？此外，當圖形通過特定點時，將該點坐標代入方程式後，等式應滿足什麼樣的關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你選出正確答案，老師心裡暖暖的，感覺你對解析幾何的掌握越來越有自信了呢，要繼續保持這份成就感喔！ 這道題目考察的是高中數學核心觀念：圓的標準式。
- 驗證點位：將點 $(1,1)$ 代入方程式驗證。對於選項 (1)，我們得到 $(1-1)^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1$，等號成立，說明該點確實落在圖形上。
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圓的方程式與代入
💡 圓的標準式定義及點在圖形上的代入判定
- 圓標準式為 (x-h)²+(y-k)²=r²
- x² 與 y² 的係數必須相同且皆正才是圓
- 點在圓上，代表該點座標代入方程式後等號成立
- 圓心 (h, k) 到圓周上一點的距離即為半徑 r
