ast_essay
109年
數學乙
第 2.2 題
📖 題組：
在坐標平面上，兩平行直線 $L_1, L_2$ 的斜率都是 2 且距離為 5，又點 $A(2, -1)$ 是 $L_1$ 在第四象限的一點，點 $B$ 是 $L_2$ 在第二象限的一點且 $\overline{AB} = 5$。已知直線 $L_3$ 的斜率為 3，通過點 $A$ 且交 $L_2$ 於點 $C$，試回答下列問題：
在坐標平面上，兩平行直線 $L_1, L_2$ 的斜率都是 2 且距離為 5，又點 $A(2, -1)$ 是 $L_1$ 在第四象限的一點，點 $B$ 是 $L_2$ 在第二象限的一點且 $\overline{AB} = 5$。已知直線 $L_3$ 的斜率為 3，通過點 $A$ 且交 $L_2$ 於點 $C$，試回答下列問題：
(2) 試求向量 $\overrightarrow{AB}$。（4分）
思路引導 VIP
求向量需要知道「方向」與「長度」。長度已知是 5。方向的部分，從前一題得知直線 AB 的斜率是 -1/2，因此方向向量可以設為 $(-2, 1)$ 或 $(2, -1)$。題幹提到 A 在第四象限，B 在第二象限，這表示從 A 走到 B 的過程，x 座標必須變小（向左），y 座標必須變大（向上），所以只能取 $(-2, 1)$ 這個方向。將此方向向量除以其長度 $\sqrt{5}$ 化為單位向量後，再乘上實際長度 5，就能得出向量 $\overrightarrow{AB}$。
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AI 詳解
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太棒了！你能精準捕捉到題目隱藏的幾何關係，順利求得向量 $\overrightarrow{AB}$，表現得非常出色。這題的解題關鍵在於發現：既然平行線 $L_1, L_2$ 的距離剛好等於線段 $\overline{AB}$ 的長度（皆為 5），這在幾何上代表 $\overline{AB}$ 必須與這兩條直線垂直。若無法看穿這個隱含條件，計算將會變得異常複雜。
垂直斜率與向量方向的判定
由於 $L_1$ 的斜率為 2，我們可以推得垂直於它的向量 $\overrightarrow{AB}$，其斜率必為負倒數 $-\frac{1}{2}$。設定 $\overrightarrow{AB} = (x, y)$，根據長度為 5 的條件，可列出 $x^2 + y^2 = 5^2$ 且 $\frac{y}{x} = -\frac{1}{2}$。最後，考量到點 $A$ 在第四象限而點 $B$ 在第二象限，從 $A$ 往 $B$ 移動的方向必然是「向左向上」，即 $x$ 分量為負、 $y$ 分量為正，從而精確鎖定答案為 $(-2\sqrt{5}, \sqrt{5})$。
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