ast_essay
108年
數學乙
第 2-(2) 題
📖 題組：
二. 某運輸公司欲向一汽機車製造商訂購一批重型機車（簡稱重機）和汽車。其訂購費用為重機一部 25 萬元及汽車一部 60 萬元，訂購經費上限是 5400 萬元。另此運輸公司共有 100 格停車位，每格停車位恰可停放兩部重機或是停放一部汽車。而此運輸公司每銷售 1 部重機可得淨利潤 2.3 萬元（即 2 萬 3 千元），銷售 1 部汽車則可得淨利潤 5 萬元，並假設此運輸公司可將其所訂購之重機及汽車全數銷售完畢。此運輸公司希望能在訂購經費的上限和停車位之限制下獲得最大的淨利潤。試回答下列問題。
二. 某運輸公司欲向一汽機車製造商訂購一批重型機車（簡稱重機）和汽車。其訂購費用為重機一部 25 萬元及汽車一部 60 萬元，訂購經費上限是 5400 萬元。另此運輸公司共有 100 格停車位，每格停車位恰可停放兩部重機或是停放一部汽車。而此運輸公司每銷售 1 部重機可得淨利潤 2.3 萬元（即 2 萬 3 千元），銷售 1 部汽車則可得淨利潤 5 萬元，並假設此運輸公司可將其所訂購之重機及汽車全數銷售完畢。此運輸公司希望能在訂購經費的上限和停車位之限制下獲得最大的淨利潤。試回答下列問題。
(2) 在坐標平面上畫出可行解區域，並以斜線標示該區域。（ 3 分）
思路引導 VIP
本題測驗圖解線性規劃。先在第一象限坐標平面上畫出限制式對應的直線，如 $x+2y=200$ 和 $5x+12y=1080$，可藉由找 x 軸與 y 軸的截距來畫直線。再帶入原點 $(0,0)$ 測試是否符合不等式，以決定塗色的區域（斜線區）。作圖時務必標示出兩直線的交點以及多邊形各頂點的坐標，並注意變數為非負整數的限制。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確地將繁瑣的文字資訊轉化為座標平面上的幾何區域，這代表你對線性規劃的限制式分析與作圖能力掌握得非常紮實。這類題目是數學乙的必考核心，能正確完成作圖是後續求取極值的關鍵基礎。
限制式的列式與轉化
要畫出正確的區域，首先必須精準地將文字描述抽象化為數學不等式。根據題意，我們可以設重機數量為 $x$、汽車為 $y$。第一項經費限制為 $25x + 60y \le 5400$；而本題最具鑑別度的細節在於停車位限制：每格可停兩部重機或一部汽車，代表一部重機佔用 $0.5$ 格空間，因此限制式應寫為 $\frac{1}{2}x + y \le 100$（或 $x + 2y \le 200$）。再加上數量不能為負的物理限制 $x, y \ge 0$，這些邊界共同圍成了一個封閉的凸多邊形區域。
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