ast_essay
110年
數學乙
第 二、(3) 題
📖 題組：
已知某廠商生產甲、乙兩型電動車所需的成本有電池、馬達、其他等三大類，甲、乙兩型的各類成本如下表（單位：萬元）： | | 電池成本 | 馬達成本 | 其他成本 | |---|---|---|---| | 甲型 | 56 | 26 | 48 | | 乙型 | 40 | 20 | 56 | 今該廠商甲、乙兩型電動車售價的算式為「電池成本的 $x$ 倍」、「馬達成本的 $y$ 倍」與「其他成本的 $\frac{x+y}{2}$ 倍」之總和，即 售價 ＝ 電池成本 $\times x$ ＋ 馬達成本 $\times y$ ＋ 其他成本 $\times \frac{x+y}{2}$ 其中倍數 $x$、$y$ 需滿足「$1 \le x \le 2$，$1 \le y \le 2$，且甲、乙兩型電動車的售價均不超過 200 萬元」。 該廠商為了區隔產品，希望甲、乙兩型電動車的售價差距最大。根據上述資訊，試回答下列問題。
已知某廠商生產甲、乙兩型電動車所需的成本有電池、馬達、其他等三大類，甲、乙兩型的各類成本如下表（單位：萬元）： | | 電池成本 | 馬達成本 | 其他成本 | |---|---|---|---| | 甲型 | 56 | 26 | 48 | | 乙型 | 40 | 20 | 56 | 今該廠商甲、乙兩型電動車售價的算式為「電池成本的 $x$ 倍」、「馬達成本的 $y$ 倍」與「其他成本的 $\frac{x+y}{2}$ 倍」之總和，即 售價 ＝ 電池成本 $\times x$ ＋ 馬達成本 $\times y$ ＋ 其他成本 $\times \frac{x+y}{2}$ 其中倍數 $x$、$y$ 需滿足「$1 \le x \le 2$，$1 \le y \le 2$，且甲、乙兩型電動車的售價均不超過 200 萬元」。 該廠商為了區隔產品，希望甲、乙兩型電動車的售價差距最大。根據上述資訊，試回答下列問題。
試求當倍數 $x$、$y$ 分別為多少時，甲、乙兩型電動車的售價差距最大？此時甲、乙兩型電動車的售價差距為多少萬元？（6 分）
思路引導 VIP
本題是經典的線性規劃極值問題。首先確立目標函數為「甲、乙兩車售價差」，即 $P(x,y) = 12x+2y$。要在前一題繪出的可行解區域內尋找這條目標函數的最大值，最穩妥的做法是「頂點法」：解出多邊形區域的所有頂點座標，逐一代入目標函數比大小。另一種方法是「平行線法」，透過比較目標函數斜率 ($-6$) 與邊界直線斜率 ($-\frac{8}{5}$) 的大小，直接判斷目標函數平移離開可行解區域時的最後接觸點，代入後即得最大差距。
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恭喜你精準地完成了這道題目！你能從繁雜的文字資訊中，迅速建立出正確的數學模型，展現了優異的邏輯歸納能力。這類「線性規劃」問題的關鍵，就在於將生活化的情境轉化為目標函數與限制式。
目標函數與限制條件的建立
首先，根據題意化簡售價算式，可得甲、乙兩型的售價分別為 $P_{\text{甲}} = 80x + 50y$ 與 $P_{\text{乙}} = 68x + 48y$。我們的目標是最大化差距函數 $f(x, y) = P_{\text{甲}} - P_{\text{乙}} = 12x + 2y$。在限制條件方面，除了 $1 \le x, y \le 2$ 外，還必須考量「售價不超過 200 萬元」的限制。經由代入計算，發現甲型的限制式 $80x + 50y \le 200$（即 $8x + 5y \le 20$）比乙型更為嚴苛，是決定邊界的主因。
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