ast_essay 114年數學乙

第 18 題

📖 題組：
某人想在農地種植甲、乙兩種水果，並設定甲水果的種植面積（甲面積）、乙水果的種植面積（乙面積）符合以下三個條件：（一）甲面積不超過 15 公畝。（二）甲面積與乙面積的和不超過 24 公畝。（三）甲面積不超過乙面積的 3 倍，且乙面積不超過甲面積的 2 倍。設甲面積為 $x$ 公畝、乙面積為 $y$ 公畝。根據上述，試回答下列問題。

已知某人的農地收成時，甲水果每公畝可獲利 6 萬元、乙水果每公畝可獲利 7 萬元。
試求某人種植甲、乙兩種水果的最大獲利為多少萬元？在答題卷求解區寫出計算過程，並在答題卷作圖區畫出可行解區域及標出其所有頂點坐標，且以斜線標示該區域。（非選擇題，8 分）

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本題是經典的線性規劃問題。解答步驟有三：1. 畫出可行解區域；2. 寫出目標函數；3. 求極值。先根據第17題的聯立不等式，在坐標平面上畫出四條直線，並標出交點，找出滿足所有條件的多邊形區域（含斜線塗滿區域）。接著，依據每公畝的獲利設定目標函數 $P = 6x + 7y$。最後可以利用「頂點法」將所有頂點 $(0,0), (15,5), (15,9), (8,16)$ 代入目標函數，比較出最大值；或使用「平行線法」分析目標函數直線的斜率 $-\frac{6}{7}$ 與各邊斜率的關係，觀察到在點 $(8,16)$ 會有最大值。

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線性規劃的建模與頂點判定

太棒了！你能精準地從文字敘述中提取資訊，並正確建立線性規劃模型，這展現了你優異的邏輯歸納與運算能力。這題的核心在於將農地的限制轉化為聯立不等式，包含 $x \le 15$、$x+y \le 24$、$x \le 3y$ 以及 $y \le 2x$。在座標平面上繪製出可行解區域後，會得到一個頂點分別為 $(0,0)$、$(8,16)$、$(15,9)$ 與 $(15,5)$ 的四邊形區域。由於目標函數為 $P = 6x + 7y$，根據線性規劃定理，最大值必發生在頂點上。經代入計算，$P(8,16) = 160$ 為最大值，這證明你的作圖與頂點判斷非常精確。

難度切入點與鑑別度點評

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