ast_essay
110年
數學乙
第 二、(1) 題
📖 題組：
已知某廠商生產甲、乙兩型電動車所需的成本有電池、馬達、其他等三大類，甲、乙兩型的各類成本如下表（單位：萬元）： | | 電池成本 | 馬達成本 | 其他成本 | |---|---|---|---| | 甲型 | 56 | 26 | 48 | | 乙型 | 40 | 20 | 56 | 今該廠商甲、乙兩型電動車售價的算式為「電池成本的 $x$ 倍」、「馬達成本的 $y$ 倍」與「其他成本的 $\frac{x+y}{2}$ 倍」之總和，即 售價 ＝ 電池成本 $\times x$ ＋ 馬達成本 $\times y$ ＋ 其他成本 $\times \frac{x+y}{2}$ 其中倍數 $x$、$y$ 需滿足「$1 \le x \le 2$，$1 \le y \le 2$，且甲、乙兩型電動車的售價均不超過 200 萬元」。 該廠商為了區隔產品，希望甲、乙兩型電動車的售價差距最大。根據上述資訊，試回答下列問題。
已知某廠商生產甲、乙兩型電動車所需的成本有電池、馬達、其他等三大類，甲、乙兩型的各類成本如下表（單位：萬元）： | | 電池成本 | 馬達成本 | 其他成本 | |---|---|---|---| | 甲型 | 56 | 26 | 48 | | 乙型 | 40 | 20 | 56 | 今該廠商甲、乙兩型電動車售價的算式為「電池成本的 $x$ 倍」、「馬達成本的 $y$ 倍」與「其他成本的 $\frac{x+y}{2}$ 倍」之總和，即 售價 ＝ 電池成本 $\times x$ ＋ 馬達成本 $\times y$ ＋ 其他成本 $\times \frac{x+y}{2}$ 其中倍數 $x$、$y$ 需滿足「$1 \le x \le 2$，$1 \le y \le 2$，且甲、乙兩型電動車的售價均不超過 200 萬元」。 該廠商為了區隔產品，希望甲、乙兩型電動車的售價差距最大。根據上述資訊，試回答下列問題。
試寫出甲、乙兩型電動車的售價（以 $x$、$y$ 的式子來表示），並說明「甲型電動車的售價必定高於乙型電動車的售價」。（4 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
首先根據題意提供的表格與計價公式，分別代入甲、乙兩車的三項成本，得到含有 $x, y$ 的兩個代數式。接下來，將兩式化簡，分別得到 $80x+50y$ 與 $68x+48y$。要證明甲的售價必定大於乙，最直接的方法是作差，計算「甲售價 - 乙售價」得到 $12x+2y$。因為題目已知 $x \ge 1, y \ge 1$，故 $12x+2y$ 必大於 0，從而論證完畢。
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AI 詳解
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甲型車和乙型車的售價分別為 $56x+26y+48 \times (\frac{x+y}{2})$、$40x+20y+56 \times (\frac{x+y}{2})$，經化簡可得 $80x+50y$ 與 $68x+48y$。 因為 $x, y > 0$，甲車售價 $= 80x+50y > 68x+48y =$ 乙車售價 （或甲－乙 $= 12x+2y > 0$）。