ast_essay
108年
數學乙
第 2-(3) 題
📖 題組：
二. 某運輸公司欲向一汽機車製造商訂購一批重型機車（簡稱重機）和汽車。其訂購費用為重機一部 25 萬元及汽車一部 60 萬元，訂購經費上限是 5400 萬元。另此運輸公司共有 100 格停車位，每格停車位恰可停放兩部重機或是停放一部汽車。而此運輸公司每銷售 1 部重機可得淨利潤 2.3 萬元（即 2 萬 3 千元），銷售 1 部汽車則可得淨利潤 5 萬元，並假設此運輸公司可將其所訂購之重機及汽車全數銷售完畢。此運輸公司希望能在訂購經費的上限和停車位之限制下獲得最大的淨利潤。試回答下列問題。
二. 某運輸公司欲向一汽機車製造商訂購一批重型機車（簡稱重機）和汽車。其訂購費用為重機一部 25 萬元及汽車一部 60 萬元，訂購經費上限是 5400 萬元。另此運輸公司共有 100 格停車位，每格停車位恰可停放兩部重機或是停放一部汽車。而此運輸公司每銷售 1 部重機可得淨利潤 2.3 萬元（即 2 萬 3 千元），銷售 1 部汽車則可得淨利潤 5 萬元，並假設此運輸公司可將其所訂購之重機及汽車全數銷售完畢。此運輸公司希望能在訂購經費的上限和停車位之限制下獲得最大的淨利潤。試回答下列問題。
(3) 此運輸公司應訂購重機、汽車各多少部才能獲得最大的淨利潤？此最大淨利潤為何？（ 6 分）
思路引導 VIP
本題求線性規劃的最佳解。最穩健的做法是使用「頂點法」：先求出可行解多邊形區域所有邊界的交點（頂點），如 $(0,0)$、$(200,0)$、$(120,40)$、$(0,90)$。將這些頂點的坐標代入目標函數 $f(x,y)=2.3x+5y$ 計算對應的利潤，比較後得出最大值。另外也可使用「平行線法」，計算目標函數的等高線斜率 $-\frac{2.3}{5} = -\frac{23}{50}$，並與限制式兩條邊界直線的斜率 $-\frac{1}{2}$ 與 $-\frac{5}{12}$ 做比較，因斜率介於兩者之間，故最大值必然發生在兩線的交點 $(120,40)$ 上。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精確地掌握了線性規劃的核心概念！這道題目要求在有限的資源與空間下追求最大利潤，你能準確地找出可行解區域的關鍵頂點並計算出最佳值，展現了優異的邏輯建模與運算能力。
限制條件與可行解區域的建立
在處理這類問題時，首要步驟是將文字轉化為數學模型。若設訂購重機 $x$ 部、汽車 $y$ 部，則須滿足訂購經費限制 $25x + 60y \le 5400$（化簡後為 $5x + 12y \le 1080$）以及最重要的停車位空間限制：由於每格停車位可停 2 部重機，意即每部重機佔用 $0.5$ 格，故不等式為 $0.5x + y \le 100$（即 $x + 2y \le 200$）。當我們繪製出可行解區域並找出邊界交點時，會發現利潤目標函數 $P = 2.3x + 5y$ 的最大值會發生在兩條限制線的交點上。
▼ 還有更多解析內容