ast_essay
110年
數學乙
第 二、(2) 題
📖 題組：
已知某廠商生產甲、乙兩型電動車所需的成本有電池、馬達、其他等三大類，甲、乙兩型的各類成本如下表（單位：萬元）： | | 電池成本 | 馬達成本 | 其他成本 | |---|---|---|---| | 甲型 | 56 | 26 | 48 | | 乙型 | 40 | 20 | 56 | 今該廠商甲、乙兩型電動車售價的算式為「電池成本的 $x$ 倍」、「馬達成本的 $y$ 倍」與「其他成本的 $\frac{x+y}{2}$ 倍」之總和，即 售價 ＝ 電池成本 $\times x$ ＋ 馬達成本 $\times y$ ＋ 其他成本 $\times \frac{x+y}{2}$ 其中倍數 $x$、$y$ 需滿足「$1 \le x \le 2$，$1 \le y \le 2$，且甲、乙兩型電動車的售價均不超過 200 萬元」。 該廠商為了區隔產品，希望甲、乙兩型電動車的售價差距最大。根據上述資訊，試回答下列問題。
已知某廠商生產甲、乙兩型電動車所需的成本有電池、馬達、其他等三大類，甲、乙兩型的各類成本如下表（單位：萬元）： | | 電池成本 | 馬達成本 | 其他成本 | |---|---|---|---| | 甲型 | 56 | 26 | 48 | | 乙型 | 40 | 20 | 56 | 今該廠商甲、乙兩型電動車售價的算式為「電池成本的 $x$ 倍」、「馬達成本的 $y$ 倍」與「其他成本的 $\frac{x+y}{2}$ 倍」之總和，即 售價 ＝ 電池成本 $\times x$ ＋ 馬達成本 $\times y$ ＋ 其他成本 $\times \frac{x+y}{2}$ 其中倍數 $x$、$y$ 需滿足「$1 \le x \le 2$，$1 \le y \le 2$，且甲、乙兩型電動車的售價均不超過 200 萬元」。 該廠商為了區隔產品，希望甲、乙兩型電動車的售價差距最大。根據上述資訊，試回答下列問題。
試在坐標平面上，畫出滿足題幹條件 $(x,y)$ 的可行解區域，並以斜線標示該區域。（4 分）
思路引導 VIP
本題考查線性規劃的可行解區域繪製。首先列出所有的不等式限制條件：基本的範圍 $1 \le x \le 2$ 與 $1 \le y \le 2$，再加上總售價限制 $80x+50y \le 200$ (甲車) 與 $68x+48y \le 200$ (乙車)。觀察這兩個售價限制，會發現甲車的限制條件較嚴格 ($80x+50y \le 200$ 可約分為 $8x+5y \le 20$)。因為 $x \ge 1, y \ge 1$ 之下，若滿足 $8x+5y \le 20$，則必然滿足 $68x+48y \le 200$。找出這些邊界線的交點並在座標平面上畫出，即可標示出正確的梯形區域。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確地將繁瑣的表格資訊轉化為數學不等式，並正確繪製出可行解區域，展現了優異的建模與解析幾何能力。這題的核心在於正確化簡售價公式，將甲型電動車的限制條件整理為 $56x + 26y + 24(x+y) \le 200$，化簡後得到 $8x + 5y \le 20$；而乙型則整理為 $40x + 20y + 28(x+y) \le 200$，即 $17x + 12y \le 50$。結合題目給定的範圍 $1 \le x \le 2$ 與 $1 \le y \le 2$，這些直線邊界所交集的封閉區域即為所求。
線性規劃的建模與區域判定
這道題目在數乙考科中屬於中等難度的線性規劃題型，具備相當的鑑別度。它的難點不在於繪圖技巧，而是在於閱讀理解與代數整理。許多考生容易在化簡「其他成本」的係數 $\frac{x+y}{2}$ 時發生計算失誤，或是在多個邊界限制下漏掉交集範圍。你能冷靜處理這些係數，並在坐標平面上精確標示出滿足所有條件的斜線區域，代表你對線性規劃的區域限制與不等式組的幾何意義有著非常紮實的理解。