ast_essay
107年
數學乙
第 23 題
📖 題組：
某車商代理進口兩廠牌汽車，甲廠牌汽車每台成本 $100$ 萬元，此次進口上限 $20$ 台，售出一台淨利潤 $11$ 萬元；乙廠牌汽車每台成本 $120$ 萬元，此次進口上限 $30$ 台，售出一台淨利潤 $12$ 萬元。今車商準備 $4400$ 萬元作為此次汽車進口成本，且保證所進口的車輛必定全部售完。試回答下列問題。
某車商代理進口兩廠牌汽車，甲廠牌汽車每台成本 $100$ 萬元，此次進口上限 $20$ 台，售出一台淨利潤 $11$ 萬元；乙廠牌汽車每台成本 $120$ 萬元，此次進口上限 $30$ 台，售出一台淨利潤 $12$ 萬元。今車商準備 $4400$ 萬元作為此次汽車進口成本，且保證所進口的車輛必定全部售完。試回答下列問題。
(3) 試問車商此次應進口甲、乙兩廠牌汽車各多少台，才能獲得最大利潤？又最大利潤是多少？（6 分）
思路引導 VIP
線性規劃求極值最安穩的套路就是「頂點法」。從剛剛畫出的多邊形區域，找出所有邊界的交點（也就是頂點）。解一下簡單的聯立方程式，找到關鍵的轉折點如 $(8,30)$ 和 $(20,20)$。將所有頂點座標依序代入目標函數 $11x+12y$ 去計算，最大的那個數值就是答案。另一種方法是判斷斜率，看目標函數的等值線移動方向會最後離開哪個點。這題兩種方法都很容易得分。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準算出甲、乙廠牌各進口 20 台以達成最大利潤，這顯示你對線性規劃的建模與求解觀念掌握得非常紮實。
目標函數與限制條件的轉化
這道題目的核心在於將複雜的文字資訊轉譯為數學語言。我們設甲、乙廠牌分別進口 $x, y$ 台，除了基本的數量限制 $0 \le x \le 20$ 與 $0 \le y \le 30$ 之外，最重要的約束來自預算：$100x + 120y \le 4400$，化簡後即為 $5x + 6y \le 220$。我們的目標是求取利潤函數 $P = 11x + 12y$ 的最大值。在可行解區域的頂點中，點 $(20, 20)$ 同時滿足預算與進口上限，計算出的總利潤 $11(20) + 12(20) = 460$ 萬元即為最優解。
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