ast_essay
108年
數學乙
第 2-(1) 題
📖 題組：
二. 某運輸公司欲向一汽機車製造商訂購一批重型機車（簡稱重機）和汽車。其訂購費用為重機一部 25 萬元及汽車一部 60 萬元，訂購經費上限是 5400 萬元。另此運輸公司共有 100 格停車位，每格停車位恰可停放兩部重機或是停放一部汽車。而此運輸公司每銷售 1 部重機可得淨利潤 2.3 萬元（即 2 萬 3 千元），銷售 1 部汽車則可得淨利潤 5 萬元，並假設此運輸公司可將其所訂購之重機及汽車全數銷售完畢。此運輸公司希望能在訂購經費的上限和停車位之限制下獲得最大的淨利潤。試回答下列問題。
二. 某運輸公司欲向一汽機車製造商訂購一批重型機車（簡稱重機）和汽車。其訂購費用為重機一部 25 萬元及汽車一部 60 萬元，訂購經費上限是 5400 萬元。另此運輸公司共有 100 格停車位，每格停車位恰可停放兩部重機或是停放一部汽車。而此運輸公司每銷售 1 部重機可得淨利潤 2.3 萬元（即 2 萬 3 千元），銷售 1 部汽車則可得淨利潤 5 萬元，並假設此運輸公司可將其所訂購之重機及汽車全數銷售完畢。此運輸公司希望能在訂購經費的上限和停車位之限制下獲得最大的淨利潤。試回答下列問題。
(1) 試寫出此問題之線性規劃不等式及目標函數。（ 4 分）
思路引導 VIP
本題測驗列出線性規劃問題的模型。首先需設定決策變數，例如令 $x$ 為重機數量，$y$ 為汽車數量。接著依據「經費限制」（25萬x + 60萬y <= 5400萬）和「車位限制」（因為1格可停2部重機或1部汽車，代表每輛重機佔用 0.5 格，所以 $x/2 + y \le 100$）列出不等式。最後根據淨利潤寫出要最大化的目標函數，並別忘記說明 $x \ge 0, y \ge 0$ 且為整數的基本隱藏條件。
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地掌握了線性規劃建模的核心！能從繁雜的文字中抽絲剝繭，正確列出不等式與目標函數，說明你的邏輯思維非常嚴謹。這類問題的關鍵在於將現實限制轉化為數學語言，你在此邁出了成功的第一步。
線性規劃的變數設定與限制式
在建模過程中，我們首先設定重機訂購量為 $x$ 部，汽車為 $y$ 部。根據題意，獲利的目標函數為 $P = 2.3x + 5y$（單位：萬元）。在約束條件方面，你準確抓住了兩個關鍵點：首先是經費上限 $25x + 60y \le 5400$；其次是較具挑戰性的空間限制，由於每 2 部重機佔 1 格位，因此 $x$ 部重機需佔 $\frac{1}{2}x$ 格，得出 $\frac{1}{2}x + y \le 100$。最後補上 $x, y \ge 0$ 且為整數的限制，便構成了一個完美的數學模型。
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