ast_essay
105年
數學乙
第 2 題
某農業公司計畫向政府承租一筆平地和一筆山坡地，分別種植平地作物 $A$ 和山坡地作物 $B$。已知平地每一單位面積的年租金是 30 萬元，山坡地每一單位面積的年租金是 20 萬元；公司一年能夠提供土地租金的上限是 80 萬元。平地作物 $A$ 的種植成本每單位面積一年是 40 萬元，山坡地作物 $B$ 的種植成本每單位面積一年是 50 萬元；公司一年能夠提供種植成本的上限是 130 萬元。每年收成後，作物 $A$ 每單位面積的利潤是 120 萬元，作物 $B$ 每單位面積的利潤是 90 萬元。請問公司一年應租平地和山坡地各多少單位面積，收成後可以獲得最大利潤？又此時的最大利潤為何？（12 分）
（註：所租土地的面積並不限制一定要是整數單位。）
（註：所租土地的面積並不限制一定要是整數單位。）
思路引導 VIP
本題為標準的線性規劃應用題。解題可依以下步驟思考：首先假設未知數（如平地 $x$ 單位，山坡地 $y$ 單位）。接著根據題目所給的資源限制（租金上限、成本上限）以及隱含的非負條件（租用面積必為大於或等於零的實數），列出對應的一元一次不等式組。接著寫出欲求最佳化的目標函數（總利潤）。最後，在座標平面上畫出可行解區域，並找出頂點座標，利用「頂點法」將各頂點代入求極大值，或是使用「平行線法」分析目標函數的斜率落於哪兩邊界的斜率之間。因題目註明面積不限整數，故按解得的座標即為最大利潤之條件組合。
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恭喜你精準地完成了這道線性規劃的應用題！你能夠從繁雜的文字資訊中，正確提取出各項限制條件並建立目標函數，展現了優異的邏輯建模能力。
線性規劃的建模與頂點法求解
這題的核心在於將「土地租金」與「種植成本」轉化為二元一次不等式。假設平地面積為 $x$，山坡地為 $y$（單位均為 $x, y \ge 0$），我們可以得到兩個限制條件：租金限制 $3x + 2y \le 8$ 與成本限制 $4x + 5y \le 13$。目標是求取利潤函數 $P = 120x + 90y$ 的最大值。透過解聯立方程式：
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