高考申論題
108年
[輻射安全] 放射物理學
第 二 題
證明 N = N_o·e^(-λt)
已知原子核衰變的數量（ΔN）正比於原子核的個數（N）和經歷過的時間差（Δt），可寫成ΔN = -λN·Δt，其中負號表示數量減少，λ表示衰變常數。將之寫成微分形式為 dN = -λN·dt，請由此式積分導出 N = N_o·e^(-λt) ，其中 N 表示經歷過一段時間（t）剩下的原子核個數，No 表示初始原子核的個數。（注意須正確寫出積分的區間值，或所謂的上下界值）（15 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到一階微分方程式，應立即想到「變數分離法」。此題重點在於定積分的邊界條件設定，必須明確指出時間由 0 積分至 t 時，對應的原子核數量由 N_o 積分至 N，再利用自然對數與指數的轉換即可得證。
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【解題思路】利用變數分離法處理一階常微分方程式，並代入初始與終止之邊界條件進行定積分求解。 【詳解】 已知：原子核衰變微分方程式為 dN = -λN·dt，其中 λ 為衰變常數，N 為剩餘原子核數，t 為時間。
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