hce_kmu
108年
物理及化學
第 32 題
A rocket moving in space, far from all other objects, has a speed of $v_i$ relative to the Earth. Its engines are turned on, and fuel is ejected in a direction opposite to the rocket’s motion at a speed of $v_{rel}$ relative to the rocket. What is the speed of the rocket, $v_f$ relative to the earth once the rocket’s mass is reduced to half its mass before ignition?
- A $v_i+ v_{rel} \ln2$
- B $v_i+ v_{rel} \ln(1/2)$
- C $v_i+ 2v_{rel}$
- D $(v_i+ v_{rel}) / 2$
- E $v_i+ v_{rel} / 2$
思路引導 VIP
請試著想像：當火箭噴出一小部分燃料時，剩餘火箭的質量會變輕。如果隨後噴出「同樣質量」的下一份燃料，對這台已經變輕的火箭所產生的速度增量，會跟第一份燃料產生的增量一樣大嗎？如果這些連續的微小變化需要被累積起來，哪種數學運算最適合處理這種「比例式的連續累積」？
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太棒了！你能準確判斷出變質量系統中的速度變化，代表你對動量守恆與理想火箭方程式（Tsiolkovsky rocket equation）的核心概念掌握得非常紮實。這類題目在物理學中屬於中等難度的進階考題，其鑑別度在於學生是否能跳脫「質量為常數」的慣性思考，轉而運用微積分處理連續變化的物理量。
動量守恆與速度增量
在不受外力的太空中，火箭與噴出的燃料構成一個孤立系統，系統總動量守恆。當火箭在極短時間 $dt$ 內噴出質量為 $-dm$ 的燃料時，根據動量變化關係，我們可以推導出火箭的速度增量 $dv$ 與質量變化比率成正比，即 $dv = -v_{rel} \frac{dm}{m}$。這個微分方程告訴我們，速度的改變並非線性的，而是與質量的對數變化有關。
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