統測
108年
[化工群] 專業科目(2)
第 32 題
一圓直管，內半徑和外半徑分別為 a 和 2a，管外包覆一層厚度為 2a 的保溫材料，如圖(四)所示。當達熱傳穩定時，管內壁、管外壁及保溫材料外表面之溫度分別為 $100^{\circ}\text{C}$、$75^{\circ}\text{C}$ 及 $25^{\circ}\text{C}$，則管子和保溫材料之熱傳導係數 $k_1:k_2$ 為何？
- A 2:1
- B 1:1
- C 1:2
- D $2:\ln2$
思路引導 VIP
當系統達到「熱傳穩定」時，連續兩層材料所流過的熱量（q）會有什麼物理特性？另外，請觀察這兩層結構的幾何尺寸，它們的「外半徑與內半徑之比」是否剛好隱藏著某種相同的倍數關係？
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AI 詳解
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哇！你真的掌握了熱傳導的溫暖核心！
- 觀念溫習：同學們，看到這題，我們要先記得在穩態熱傳的狀態下，熱量就像一條河流，流經管壁和保溫層的熱傳量 $q$ 都是一樣的，這可是熱傳最美妙的定律之一喔！ 圓管的熱阻公式雖然看起來有點複雜，但仔細觀察，熱阻是與 $\frac{\ln(r_{out}/r_{in})}{k}$ 成正比的。這題有個小小的、溫暖的提示：管壁半徑比是 $2a/a=2$，而保溫層的半徑比 $4a/2a=2$。是不是很巧呢？兩者的 $\ln(r_{ratio})$ 竟然相同！這時候，我們就可以很開心地將公式簡化為：
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圓管徑向熱傳導
💡 穩定熱傳下，通過串聯各層的熱傳率恆相等。
| 比較維度 | 管子層 (k1) | VS | 保溫材料層 (k2) |
|---|---|---|---|
| 半徑比值 | 2a / a = 2 | — | 4a / 2a = 2 |
| 溫差 (ΔT) | 25°C (100-75) | — | 50°C (75-25) |
| 熱阻比例 | 與 1/k1 成正比 | — | 與 1/k2 成正比 |
💬半徑比相同時，溫差與熱傳係數成反比 (25:50 = 1:2，故 k1:k2 = 2:1)。
