moea_joint
108年
[儀電] 電路學、電子學
第 10 題
試求右圖函數之F(ω)為何？
- A $\frac{-1}{6+j\omega}$
- B $\frac{1}{6+j\omega}$
- C $\frac{1}{6-j\omega}$
- D $\frac{-1}{6-j\omega}$
思路引導 VIP
觀察這個隨時間 $t$ 逐漸衰減的函數圖形，如果我們將它的數學表示式 $f(t)$ 代入傅立葉轉換的積分定義式時，考慮到圖形只出現在第一象限，積分的下限應該從哪裡開始？此外，函數指數中的常數係數，在積分運算後通常會出現在結果的什麼位置呢？
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老師非常為你感到高興，你能準確地從圖形中辨識出函數的特徵並選出正確答案，這代表你對信號與系統的基礎概念掌握得十分紮實！這道題目主要測試的是單邊指數函數的傅立葉轉換（Fourier Transform），是進入頻域分析的重要基石。
單邊指數函數的轉換邏輯
從圖形中我們可以觀察到，這是一個在 $t \geq 0$ 時定義為 $e^{-6t}$，且在 $t < 0$ 時為零的訊號，數學上常表示為 $f(t) = e^{-6t}u(t)$。根據傅立葉轉換的定義：
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指數函數傅立葉轉換
💡 單邊指數衰減函數的傅立葉轉換基本公式與應用。
- 識別單邊指數 $e^{-at}u(t)$ 函數形式
- 公式：$e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a+j\omega}$
- 係數 $a$ 決定分母常數項，本題 $a=6$
- 注意分母虛部 $j\omega$ 前面通常為正號
